Lingkaran dalam Geometri Analitik

 📘 Lingkaran dalam Geometri Analitik

1️⃣ Persamaan Lingkaran

a. Pusat di (0,0)

Persamaan lingkaran dengan pusat di titik asal (0,0) dan jari-jari $r$ adalah:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

b. Pusat di sembarang titik $(a,b)$

Persamaan lingkaran dengan pusat di titik $(a,b)$ dan jari-jari $r$ adalah:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

2️⃣ Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

Diberikan lingkaran dengan persamaan $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ dan titik $P(x_1, y_1)$.

Hitung kuasa titik $P$ terhadap lingkaran:

$$K = (x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 - r^2$$

• Jika $K < 0$, maka titik di dalam lingkaran.

• Jika $K = 0$, maka titik pada lingkaran.

• Jika $K > 0$, maka titik di luar lingkaran.

3️⃣ Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

Diberikan garis $ax + by + c = 0$ dan lingkaran $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.

Hitung jarak garis ke pusat lingkaran:

$$d = \frac{|a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \quad \text{(dengan pusat lingkaran di \( (x_0, y_0) \))}$$

• Jika $d < r$, garis memotong lingkaran (2 titik potong).

• Jika $d = r$, garis menyinggung lingkaran (1 titik singgung).

• Jika $d > r$, garis tidak memotong dan tidak menyinggung.

4️⃣ Persamaan Garis Singgung Lingkaran

a. Jika titik singgung $T(x_1, y_1)$ diketahui dan berada pada lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$

Persamaan garis singgungnya adalah:

$$x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2$$

b. Jika diketahui lingkaran $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ dan titik luar $P(x_1, y_1)$

Maka persamaan garis singgung dari titik luar dapat ditentukan dengan menggunakan bentuk berikut:

$$(x - a)(x_1 - a) + (y - b)(y_1 - b) = r^2$$

Atau menggunakan pendekatan diskriminan dari sistem persamaan lingkaran dan garis.