📘 Materi Pengayaan – Geometri Analitik Matematika Lanjut Fase F Kelas 12

 

📘 Materi Pengayaan – Geometri Analitik

1️⃣ Kedudukan Dua Lingkaran

Dua lingkaran dengan pusat dan jari-jari masing-masing:

• $L_1: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r_1^2$

• $L_2: (x - c)^2 + (y - d)^2 = r_2^2$

Hitung jarak antar pusat:

$$d = \sqrt{(a - c)^2 + (b - d)^2}$$

🔸 Macam-Macam Kedudukan:

Kedudukan	Syarat
Berpotongan	(
Bersinggungan luar	$d = r_1 + r_2$
Bersinggungan dalam	( d =
Tidak bersinggungan (terpisah)	$d > r_1 + r_2$
Tidak bersinggungan (di dalam)	( d <
Konsentris	$d = 0$, tetapi $r_1 \neq r_2$
Berhimpit	$d = 0$ dan $r_1 = r_2$

---

2️⃣ Persamaan Garis Singgung Irisan Kerucut

Untuk kurva: parabola, elips, atau hiperbola, terdapat 3 metode menentukan persamaan garis singgung:

---

🅐 Jika Diketahui Titik Singgung $T(x_1, y_1)$

🔹 Parabola:

Misal parabola $y^2 = 4px$, titik $T(x_1, y_1)$ berada di kurva
Maka garis singgungnya:

$$y \cdot y_1 = 2p(x + x_1)$$

🔹 Elips:

Misal elips $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, titik $T(x_1, y_1)$ berada di kurva
Maka garis singgungnya:

$$\frac{x \cdot x_1}{a^2} + \frac{y \cdot y_1}{b^2} = 1$$

🔹 Hiperbola:

Misal hiperbola $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, titik $T(x_1, y_1)$ berada di kurva
Maka garis singgungnya:

$$\frac{x \cdot x_1}{a^2} - \frac{y \cdot y_1}{b^2} = 1$$

---

🅑 Jika Diketahui Kemiringan $m$

Gunakan metode substitusi garis $y = mx + c$ ke persamaan kurva → ubah menjadi persamaan kuadrat.
Syarat garis menyinggung: diskriminan $D = 0$
→ Tentukan nilai $c$ → dapatkan persamaan garis singgung.

---

🅒 Jika Diketahui Titik di Luar Kurva $P(x_0, y_0)$

1. Substitusikan titik ke bentuk garis umum (misal $y = mx + c$)

2. Gunakan syarat diskriminan $D = 0$ untuk menemukan $m$ atau $c$

3. Diperoleh dua garis singgung dari titik luar ke kurva