Materi: Irisan Kerucut – Elips Matematika Lanjut Kelas 12 Fase F

 

📘 Materi: Irisan Kerucut – Elips

1️⃣ Pengertian Elips

Elips adalah himpunan titik-titik pada bidang sedemikian sehingga jumlah jaraknya ke dua titik tetap (fokus) adalah konstan. Titik-titik tetap ini disebut fokus elips.

---

2️⃣ Unsur-Unsur Elips

• Pusat (Center): Titik tengah di antara dua fokus.

• Fokus (Foci): Dua titik tetap dalam elips, dilambangkan $F_1$ dan $F_2$.

• Sumbu Mayor (Major Axis): Sumbu terpanjang elips yang melalui kedua fokus.

• Sumbu Minor (Minor Axis): Sumbu pendek yang tegak lurus terhadap sumbu mayor dan melalui pusat.

• Puncak (Vertices): Titik-titik ujung dari sumbu mayor.

• Latus Rectum: Garis yang melalui salah satu fokus dan tegak lurus sumbu mayor; panjangnya:

  $$\text{Latus rectum} = \frac{2b^2}{a}$$

  dengan $a$ = semi-sumbu mayor, $b$ = semi-sumbu minor.

---

3️⃣ Persamaan Elips

a. Elips dengan Pusat di (0,0)

1. Sumbu mayor sejajar sumbu X:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a > b$$

• Fokus: $(\pm c, 0)$, dengan $c = \sqrt{a^2 - b^2}$

2. Sumbu mayor sejajar sumbu Y:

$$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1, \quad a > b$$

• Fokus: $(0, \pm c)$, dengan $c = \sqrt{a^2 - b^2}$

---

b. Elips dengan Pusat di (m,n)

1. Sumbu mayor sejajar sumbu X:

$$\frac{(x - m)^2}{a^2} + \frac{(y - n)^2}{b^2} = 1$$

2. Sumbu mayor sejajar sumbu Y:

$$\frac{(x - m)^2}{b^2} + \frac{(y - n)^2}{a^2} = 1$$

Catatan:
Dalam semua bentuk, $a$ adalah panjang semi-sumbu mayor dan $b$ adalah panjang semi-sumbu minor. Nilai $a > b$.